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三分损益

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天地之间,声之大者如雷霆,小者如蠓蚁,皆不得其和。故圣人设音律以调之,而后声之大者不过宫,声之小者不过羽,其于和阴阳、赞化育之道,莫善于此,乃为三分损益之法以正五音。然音止于五,犹不足以尽其变,由是截竹为管,作十二律以应十二月,而亦以三分损益之法正之。如黄钟为宫,宫者音之君也,一阳之律也,阳生于子而数始于九,因而九之,九九八十一而黄钟之数立焉。阳下生阴,长管生短管也,三损其一则为短;阴上生阳,短管生长管也,三益其一则为长。如黄钟九寸,分九为三而去其一,则为六寸,便为隔八下生林钟六月之管。又三分林钟之六而益其一,以二加六得八寸,便为上生太簇正月之管。

余律亦然。又以宫数数之,九九八十一,宫音也;三分去其一分二十七,则得五十四为征音;以五十四为三分,而又添一分十八,则得七十二为商音;以七十二为三分,而损去一分二十四,则得四十八为羽音;以四十八为三分,而又添一分十六,则得六十四为角音。此音律三分损益之数,皆出于自然而然。

古人算律有三种∶其一,以黄钟为九寸,每寸九分,共计八十一分;其二,以黄钟为十寸,每寸十分,共计百分;其三,以黄钟为九寸,每寸十分,共计九十分。

其一,出淮南子及晋书、宋书。(此纵黍度也。)

黄钟之数八十一。(一曰八寸一分,下同。宫音数也。)

林钟之数五十四。(征音同。)

太簇之数七十二。(商音同。)

南吕之数四十八。(羽音同。)

姑洗之数六十四。(角音同。)

应钟之数四十三。

蕤宾之数五十七。

大吕之数七十六。

夷则之数五十一。

夹钟之数六十八。

无射之数四十五。

仲吕之数六十。

其二,出太史公律书。(此横黍度也。)

黄钟长十寸。(整一百分,如前三分损益相生,得林钟之数长六寸六分六厘六毫,太簇之数长八寸八分八厘八毫,而十二律之数自见。)

其三出京房律准及后汉志。(此斜黍度也。)

黄钟长九寸。(每寸十分,如前三分损益相生,各得十二律之数。)

上古法,下生者三分减一,三减其一则为二,故用二因三归;上生者三分添一,以三添一则为四,故用四因三归。别法,下生者五十乘之,七十五除之;上生者一百乘之,七十五除之。所得与古同而算法不同。

假如黄钟长十寸。古法置黄钟为实,下生者二因三归得林钟。别法以五十乘之,七十五除之,亦得林钟。

又如林钟长六寸六分六厘六毫。古法置林钟为实,上生者四因三归得太簇。别法以一百乘之,七十五除之,亦得太簇。余仿此。

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